数学九章卷四下

    宋　秦九韶　撰

    测望

    望敌圆营

    问敌临河为圎营不知大小自河南岸至其地七里于其地立两表相去二步其西表与敌营南北相直人退西表一十二步遥望东表适与敌营圆邉参合圆法用密率里法三百六十欲知其营周及径各防何答曰营周六里一百二步七分步之六　径二里按答数有误营周系六里七十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八径系一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九

    术曰以勾股夕桀求之置表间自乗为勾幂以退表自乗为股幂并二幂为?幂置里通步自之乗勾幂为率自乗为泛实【按此数当即为实开?从方今不开平方乃以　此数自乗并以此数升他数开?从三乗方不合】半?幂乗率为泛从上亷【按半?幂即半?自乗又倍之之数】以勾幂减股幂余四约之【按此即半勾半股各自乗相减之数】自乗为泛益隅【三泛可约之为定】开连枝三乗玲珑方得营径以密率二千二乗七除为周

    草曰置表间二步自乗得四为

    勾幂以退表一十二步自乗得

    一百四十四为股幂以勾股二

    幂并之得一百四十八为?幂

    置七里以里法三百六十步

    通之得二千五百二十步自乗

    得六百三十五万四百乗勾幂四得二千五百四十万一千六百为率以率自乗得六百四十五万二千四百一十二亿八千一百五十六万为之实乃半?幂得七十四乗率二千五百四十万一千六百得一十八亿七千九百七十一万八千四百为泛从上亷以勾幂四减股幂一百四十四余一百四十以四约之得三十五以自乗得一千二百二十五为泛益隅置三泛求等得一千二百二十五【按即泛益隅】俱以约之得五千二百六十七亿二千七百五十七万七千六百为定实一百五十三万四千四百六十四为从上亷一为定益隅开玲珑三乗方乃以亷隅超二度约啇置七百上亷为一百五十三亿四千四百六十四益隅为一亿乃以上啇生隅得七亿为益下亷又以上啇生益亷减从亷余一百四亿四千四百六十四万为从上亷又以上啇生从亷得七百三十一亿一千二百四十八万为从方乃命上啇除实实余一百四十九亿四千二十一万七千六百又以上啇生益隅入下亷得一十四亿为益下亷又以上啇生益亷得益上亷减从亷余六亿四千四百六十四万为上亷又以上啇生上亷入方得七百七十六亿二千四百九十六万为方又以上啇生益隅入下亷得二十一亿又以上啇生下亷为益上亷减从亷余一百四十亿五千五百三十六万为益上亷又以上啇生益隅入下亷得二十八亿诸法皆退方一退为七十七亿六千二百四十九万六千益上亷再退为一亿四千五十五万三千六百益下亷三退为二百八十万益隅四退为一万乃于上啇之次续啇置二十步以续啇生隅入下亷为二百八十二万又以续啇生下亷入上亷为一亿四千六百一十九万三千六百又以续啇生上亷减从方余七十四亿七千一十万八十八百乃命续啇除实适尽所得七百二十步以里法约之得二万为营径次以密率二十二乗七百二十得一万五千八百四十为实以七除之得二千二百六十二步七分步之六以里法约之得六里一百二步七分步之六为营周

    <子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下>

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    按此题用平方可矣术中所谓率者即平方实也乃复加自乗开三乗方徒为繁冗耳且乗从亷用半?自乗之倍数乗隅数应用半股自乗之数今用勾股幂较四分之一即用半股幂半勾幂之较比半股自乗数小一半勾自乗数故得数较大若转求表间及退步必与原数不合试以相去七里为大勾?和营径三里为倍大勾相减得五里为大勾?较和相乗得较三十五为大股幂大勾?里自之仍得一为大勾幂置小勾幂四步以大股幂乗之得百百四十步以大勾幂除之仍得一百四十步为小股幂比原小股幂少四步其术之疎可知矣设用平方法如左

    法立天元一为营径相去七里通为二千五百二十步为大勾?和相减得二千五百二十步少一元为大勾?较和较相乗得六百三十五万零四百步二千五百二十元为大少股幂天元一半之以减相去步得二千五百二十步少二分天元之一为大?自之得六百三十五万零四百步少二千五百二十元多四分平方之一为大?幂退步十二为小股自之得一百四十四步为小股幂表间二步为小勾自之得四步为小勾幂相并得一百四十八步为小?幂以小?幂乗大股幂得九亿三千九百八十五万九千二百步少三十七万二千九百六十元寄之又以小股幂乗大?幂得九亿一千四百四十五万七千六百步少三十六万二千八百八十元多三十六平方与寄数为相等两邉各减九亿一千四百四十五万七千六百步各加三十七万二千九百六十元得二千五百四十万零一千六百步【即术中率数】与三十六平方多一万零八十元等三数求总等得三十六约步数得七十万零五千六百为长方积为实约元数得二百八十为从方为长阔较约平方数得一为隅用?从平方法开得阔七百一十一步又一千七百零三分步之九百九十九为营径步以密率用二十二乗之径七除之得二千二百三十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八为营周步各以里率収之得营周六里七十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八营径一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九还原之法置营径步数通分纳子得一二一一八三二分为倍大勾分数又以分母通相去步得四二九一五六　分为大勾?和分数二数相减余三　七九七二八分为大勾?较分数和较分数相乗得一三二一六八三七四五九六八分为大股幂分倍大勾分折半得六　五九一六自之得三六七一三四一九九　五六分为大勾幂分及以小勾幂四步乗大股幂分得五二八六七三四九九八二七二　分以大勾幂分除之得一百四十四步为小股幂与原数合此犹用西表相去步也若细较之当用人目相去步则营周当多十二步余营径当多四步不足也

    望知敌众

    问敌为圆营在水北平沙不知人数谍称彼营布卒... -->>
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