数学卷八

    婺源江永撰

    算賸

    【勿庵先生论算极详观玩之余有得辄笔之此为賸义云尔】

    正弧三角防通

    弧三角以正者为宗举要第二卷论正弧其法散出有见于求余角法者有见于第四卷次形法者又有现于堑堵测量环中黍尺二书者今为荟萃总计求角求边凡若干正法别法附之胪列分明学者庶易防焉

    甲为正角乙酉春分角丙为交角乙

    甲犹赤道乙丙犹黄道丙甲犹距纬

    正弧随处有之不止黄赤道而以黄

    赤为喻诸法皆以甲乙丙为钤记

    求丙甲边法

    半径与乙角正?若乙丙正?与丙甲正?【中二率相乘为实首率为法除实得四率】

    半径与乙角正切若乙甲正?与丙甲正切

    丙角正切与半径若乙甲正切与丙甲正?

    若欲用半径为首率以省除则为半径与丙角余切若乙甲正切与丙甲正?

    半径与丙角余?若乙丙正切与丙甲正切

    又法丙角余?与半径若乙丙余切与丙甲余切

    乙甲余?与半径若乙丙余?与丙甲余?

    若欲用半径为首率以省除则为半径与乙甲正割若乙丙余?与丙甲余?

    又法半径与乙甲余?若乙丙正割与丙甲正割又法乙丙余?与半径若乙甲余?与丙甲正割又法乙丙正割与半径若乙甲正割与丙甲余?

    丙角正?与半径若乙角余?与丙甲余?

    半径与丙角余割若乙角余?与丙甲余?

    又法不用四率但以加减法取初数即得丙甲正?法为乙角度与乙丙边度相并为总弧相减为存弧各取余?如法相加减【总弧过象限则两余?相加不过象限则相减】折半为初数即为丙甲正?

    求乙丙边法

    乙角正?与半径若丙甲正?与乙丙正?

    若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角余割若丙甲正?与乙丙正?

    乙角余?与半径若乙甲正切与乙丙正切

    若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角正割若乙甲正切与乙丙正切

    丙角正?与半径若乙甲正?与乙丙正?

    若欲用半径为首率以省除则为半径与两角余割若乙甲正?与乙丙正?

    丙角余?与半径若丙甲正切与乙丙正切

    若欲用半径为首率以省除则为半径与丙角正割若丙甲正切与乙丙正切

    半径与丙甲余?若乙甲余?与乙丙余?

    又法乙甲余?与半径若丙甲正割与乙丙正割又法丙甲正割与半径若乙甲余?与乙丙余?又法半径与乙甲正割若丙甲正割与乙丙正割又法乙甲正割与半径若丙甲余?与乙丙余?又法丙甲余?与半径若乙甲正割与乙丙正割

    乙角正切与半径若丙角余切与乙丙余?

    半径与乙角余切若丙角余切与乙丙余?

    求乙甲边法

    乙角正切与半径若丙甲正切与乙甲正?

    若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角余切若丙甲正切与乙甲正?

    又法乙角正?与乙角余?若丙甲正切与乙甲正?

    半径与乙角余?若乙丙正切与乙甲正切

    又法乙角正割与半径若乙丙正切与乙甲正切

    半径与丙角正?若乙丙正?与乙甲正?

    半径与丙角正切若丙甲正?与乙甲正切

    甲丙余?与半径若乙丙余?与乙甲余?

    又法乙丙正割与半径若丙甲正割与乙甲余?又法半径与丙甲正割若乙丙余?与乙甲余?又法乙丙余?与半径若丙甲余?与乙甲正割又法半径与乙丙正割若丙甲余?与乙甲正割又法丙甲正割与半径若乙丙正割与乙甲正割

    乙角正?与半径若丙角余?与乙甲余?

    半径与乙角余割若丙角余?与乙甲余?

    求乙角法

    乙丙正?与半径若丙甲正?与乙角正?

    若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余割若丙甲正?与乙角正?

    又法丙甲正?与半径若乙丙正?与乙角正割又法半径与丙甲余割若乙丙正?与乙角正割又法乙丙正?与丙甲正?若乙角正割与乙角正切

    乙甲正?与半径若丙甲正切与乙角正切

    若欲用半径为首率以省除则为半径与乙甲余割若丙甲正切与乙角正切

    又法丙甲正切与半径若乙甲正?与乙角余切

    乙丙正切与半径若乙甲正切与乙角余?

    若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余切若乙甲正切与乙角余?

    又法乙甲正切与半径若乙丙正切与乙角正割又法半径与乙甲余切若乙丙正切与乙角正割

    半径与丙甲余?若丙角正?与乙角余?【永补】

    乙甲余?与半径若丙角余?与乙角正?【永补】

    半径与乙甲正割若丙角余?与乙角正?【永补】

    乙丙余?与半径若丙角余切与乙角正切【永补】

    半径与乙丙正割若丙角余切与乙角正切

    求丙角法

    乙丙正?与半径若乙甲正?与丙角正?

    若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余割若乙甲正?与丙角正?

    又法半径与乙丙正割若乙角余切与丙角正切又法乙甲正?与半径若乙丙正?与丙角余割【永补】

    丙甲正?与半径若乙甲正切与丙角正切

    若欲用半径为首率以省除则为半径与丙甲余割若乙甲正切与丙角正切

    又法乙甲正切与半径若丙甲正?与丙角余切【永补】

    乙丙正切与半径若丙甲正切与丙角余?

    若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余切若丙甲正切与丙角余?

    又法丙甲正切与半径若乙丙正切与丙角正割【永补】

    丙甲余?与半径若乙角余?与丙角正?【永补】

    半径与丙甲正割若乙角余?与丙角正?

    半径与乙角正?若乙甲余?与丙角余?【永补】

    半径与乙角正切若乙丙余?与丙角余切【永补】

    已上求边求角诸法具足有未备者永为补之一种有数法择用一焉可也【永所补者亦因他法隅反非臆测也用之可勿疑】垂弧法趋防

    举要第三卷论垂弧但言可求某边某角不详其求之之法以有正弧三角法可攷也然算以防为贵有可省者径省之诸形中各求防法以趋简易

    形内垂弧第一支

    【甲乙丙形有丙鋭角有角旁相连之乙丙甲丙二边求对边及余两角】

    作垂弧乙丁丁为正角○按两边夹

    一角求对角之边有环中黍尺专书

    备论可不作垂弧欲以垂弧算之第

    四卷有防法但求丁丙边【半径与丙角余?若】

    【乙丙正切与丁丙正切】分甲丁边【丙丁之余为甲丁】即用两分之两边以径得乙甲【丁丙余?与乙丙余?若丁甲余?与乙甲余?】甚防也得乙甲则二角【乙甲】可求矣若按次求之先求丁丙次求乙丁次求丁乙丙分角次求乙甲次求甲角及丁乙甲分角末以两乙角并之成乙角较为烦曲

    形内垂弧第二支【甲乙丙形有丙鋭角有角旁相连之乙丙边及与各相对之乙甲边求余两角一边】

    此当先求甲角【乙甲正?与丙角正?若乙丙正?与甲

    角正?】次求丁丙【半径与丙角余?若乙丙正切与丁丙正切】甲丁【半径与甲角余?若乙甲正切与甲丁正切】分边并

    得甲丙则乙角可得不必求垂弧与

    分角

    形内垂弧第三支【甲乙丙形有乙丙二角有乙丙边求甲角及余边】

    边在两角之间斜弧三角之难求者

    也若以垂弧法求之当求乙丁边【半径

    与丙角正?若乙丙正?与乙丁正?】丁乙丙分角【乙丙

    余?与半径若丙角余切与乙角正切】原设乙角内减

    丁乙丙得丁乙甲分角次求甲角【半径与乙分角正?若乙丁余?与甲角余?】乙甲边【甲角正?与半径若乙丁正?与乙甲正?】甲丙边【甲角正?与乙丙正?若原设乙角正?与甲丙正?】此不得不求垂弧与分角者也按次形法三角求边以角易为边边易为角此形虽止两角亦可弧角相易以次形求之葢在本形为两角夹一边次形即为两边夹一角在本形为求对边之角在次形即为求对角之边径用环中黍尺加减防法以求之一求而甲角可得矣此理隐于次形篇中永于三角求边悟得之

    形内垂弧第四支【甲乙丙形有丙甲二角有乙甲边求乙角及余二边】

    此当先求乙丙边【丙角正?与甲角正?若乙甲正?

    与乙丙正?】次求丙丁【半径与丙角余?若乙丙正切与丙

    丁正切】丁甲【半径与甲角余?若乙甲正切与丁甲正切】分

    边并得丙甲而乙角可得

    形内垂弧第五支【系二边相同求三角此形易求畧之】

    形外垂弧第一支【甲乙丙形有丙鋭角有夹角之两边求乙甲边及余两角】

    自乙角作垂弧于形外补成正角【丁角】本法须求丙乙丁角【乙丙余?与半径若丙角余切与乙角正切】乙丁边【半径与乙丙正?若丙角正?与乙丁正

    ?】丁丙边【半径与乙丙正?若乙角正?与丁丙正?】乃

    可求乙甲边【丁丙内减丙甲得甲丁半径与甲丁余?若乙

    丁余?与乙甲余?】甲角【乙甲正?与半径若乙丁正?与甲角正

    ?】及甲乙丁虚角【乙甲正?与半径若甲丁正?与虚】

    【乙角正?○末以甲角减半周得原设甲角以甲乙丁虚角减丙乙丁角得原设丙乙甲角】若用环中黍尺加减防法则不用作垂弧一求可得乙甲边而甲乙两角皆可求矣

    形外垂弧第二支【甲乙丙形有甲钝角有角旁之二边求乙丙边及余二角】

    本法亦作垂弧于形外补成正角先

    求虚边虚角而后可求形内之边角

    今按此亦可用环中黍尺法角求对

    边【钝角用大矢】径得乙丙因以求二角则

    不必作垂弧

    形外垂弧第三支【甲乙丙形有丙鋭角有角旁之乙丙边有对角之乙甲边求丙甲边及余二角】

    本法先求虚边虚角今按此可求甲

    角【乙甲正?与乙丙正?若丙角正?与甲角正?】乃求丁

    丙边【半径与丙角余?若乙丙正切与丁丙正切】与甲丁

    边【半径与甲外角余?若乙甲正切与甲丁正切】于丁丙内

    减甲丁得丙甲而乙角可求

    形外垂弧第四支【乙甲丙形有甲钝角有角旁之甲丙边及对角之乙丙边求乙甲边及余二角】

    本法亦先算虚形今按此亦可仿第

    三支先求乙角次求乙戊边与甲戊

    边于乙戊内减甲戊得乙甲因以求

    丙角

    形外垂弧第五支【乙甲丙形有丙甲二角一鋭一钝有丙甲边在两角之中求一角】

    本法作垂弧先算虚边虚角今按两

    角夹一边求对边之角犹之两边夹

    一角求对角之边径易角为边易边

    为角用加减防法可得对丙甲边之

    乙角

    形外垂弧第六支【乙甲丙形有乙甲二角乙鋭甲钝有丙甲边与乙鋭角相对钝角相连】

    此当先求乙丙边【有本形弧角比例】次求乙

    戊虚边【半径与乙角余?若乙丙正切与乙戊正切】次求

    甲戊虚边【半径与甲外角余?若丙甲正切与甲戊正切】于

    乙戊内减甲戊得乙甲【因以求丙角】

    形外垂弧第七支【乙甲丙形有乙鋭角甲钝角有丙乙边与甲钝角相对鋭角相连】

    此当先求丙甲边余如六支之法

    垂弧又法第一支【乙甲丙形有乙丙边在两角之间而两角并钝求余二边及甲角】

    法引丙甲至己引乙甲至戊各满半

    周作戊己边与乙丙等而己与戊并

    乙丙之外角成甲戊己次形依法作

    垂弧于次形之内【如己丁】分为两形本

    法求乙甲边以己丁戊分形求到丁戊【半径与戊角余?若己戊正切与丁戊正切】以己丁甲形求到甲丁【先于己丁戊形求得己角以减原有之巳角余为丁己甲分角又求得己丁垂弧乃求甲丁法为半径与己分角正切若己丁正?与甲丁正切】合之成甲戊以减半周得乙甲求丙甲边以己丁甲分形求到己甲【丁己甲角余?与半径若己丁正切与己甲正切】以减半周得丙甲乃以己丁甲分形求到甲交角【己甲正?与半径若己丁正?与甲角正?】按此殊多曲折径易角为边易边为角【或用本形之乙丙两钝角易为边以乙丙边为角取矢或用次形之己戊两... -->>
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